Egalité, similitude, équivalence

Ce travail de géométrie est simple et agréable à mettre en place et il est absolument fondamental pour comprendre de nombreuses notions par la suite.

Il nécessite d'avoir 2 matériels un peu coûteux mais que l'on peut aisément fabriquer soi-même: les carrés et les triangles partagés.

Le matériel des carrés partagés se compose de 9 carrés de 10 cm de côté. L'un de ces carrés est entier, les autres sont partagés en parties égales. 

Dans une première série, les carrés sont partagés en 2, 4, 8 et 16 selon les médianes. Ils forment donc 2 rectangles, puis 4 carrés puis 8 petits rectangles et enfin 16 petits carrés.

Dans une 2ème série, les carrés sont partagés en 2,4,8 et 16 également, mais selon les diagonales. Ils forment à chaque fois des triangles rectangles isocèles de plus en plus petits.

Chaque morceau est pourvu d'un petit bouton de préhension.

Le matériel des triangles comporte 4 triangles équilatéraux de 10 cm de côté. Le premier est entier, le 2ème coupé en 2 selon la hauteur, le 3ème est coupé en 3 selon les 3 bissectrices et le 4ème est coupé en 3 selon les médianes.

Dans un premier temps, il faut laisser les enfants s'approprier ce matériel sensoriellement. On peut le proposer aux enfants dès 5 ou 6 ans, pourvu qu'ils aient déjà pas mal manipulé les triangles constructeurs. On leur propose juste de réaliser les figures de leur choix avec les petits morceaux, un peu comme un tangram. Au moment du rangement, le rangement des carrés partagés selon les diagonales représente toujours un défi pendant de nombreuses semaines. Essayez-donc vous-mêmes!

 

Les figures sont dans un premier temps réalisées à partir de pièces provenant du même cadre mais on peut ensuite mélanger plusieurs cadres. C'est le cas de M-A qui fabriqué un grand carré à l'aide des 4 morceaux du carré partagé en 4. Elle comble l'espace du carré inscrit avec les 16 petits carrés.

Quand l'enfant a beaucoup manipulé le matériel, qu'il a fabriqué toutes les figures qu'il sait nommer de plusieurs manières et qu'il a aussi essayé de faire des dessins d'objets avec (pantin, sapin, robot etc...), il est temps d'introduire les notions géométriques.

D'abord, l'égalité. Nous prenons le carré partagé en 2 rectangles. Nous en sortons un puis l'autre. Est-ce que ce sont les mêmes? Les enfants opinent et nous demandons à l'un d'entre eux de nous prouver que ce sont les mêmes. Il superpose les 2 figures (nous avions fait de même lorsque nous avions présenté les triangles constructeurs. Sinon, bien sûr, il faut montrer à l'enfant comment prouver la chose.).
J'annonce alors: "Ces 2 rectangles sont égaux."Je sors une pièce d'un autre carré et je demande à un enfant de me trouver une figure égale. Il la sort et me prouve qu'elle est bien égale.
Si les enfants sont encore jeunes, on peut en rester à la seule notion orale. Avec mon groupe, j'ai tout de suite sorti le signe = que nous avons placé entre les figures.

En fonction de l'âge et de l'aisance de l'enfant, on en reste là et on travaille l'égalité un certain temps ou l'on peut avancer avec la 2ème notion: la similitude.
Je prends le grand carré (celui qui n'est pas partagé). Je fais nommer la figure. Puis je prends l'un des 4 carrés de taille moyenne. Je demande aux enfants ce que c'est: encore un carré. Nous avons donc 2 figures qui ont le même nom. Mais sont-elles égales?
Evidemment non (nous prenons tout de même la peine de le vérifier). J'annonce alors: "Ces deux figures ont le même nom, mais ne sont pas égales, elles sont similaires". Et je demande aux enfants de me trouver une autre figure similaire à ces 2 carrés. Ils trouve l'un des petits carrés.
Nous cherchons d'autres figures similaires: le rectangle et le petit rectangle, tous les triangles des carrés partagés selon la diagonale car ce sont tous des triangles rectangles isocèles.
Par contre, dans les triangles partagés, tous les triangles ne sont pas similaires. Seul le triangle entier et les morceaux du triangle partagé en 4 sont similaires: ils sont équilatéraux.

À noter, que la notion de similitude, pour être exacte doit recouper aussi celle des proportions. Ainsi les rectangles du matériel sont similaires, mais les rectangles du cabinet de géométrie ne sont pas: ils ne conservent pas le même rapport de proportion. Mais pour l'instant, nous ne l'indiquons pas à l'enfant. Nous disons juste: "Dans le matériel, ce rectangle-ci et celui-là sont similaires."
Notons encore que tous les carrés, les triangles équilatéraux et les triangles rectangles isocèles sont toujours similaires entre eux.

Nous allons ainsi "jouer" avec les enfants: "donne-moi une figure égale à celle-ci, une figure similaire..."
Puis: "Comment sont ces 2 figures?"
Et si nous ne l'avons pas encore fait, nous introduisons les symboles (pour la similitude, il s'agit d'une barre ondulée comme celle qu'on utilise pour dire "à peu près").

Les enfants s'entraînent et recopient des figures égales et similaires sur du papier en utilisant les symboles.

Les enfants doivent être très au point avec ces 2 notions avant d'aborder la suivante: l'équivalence.
Prenons un carré partagé, par exemple, celui partagé en 4 carrés. J'enlève un carré que je pose sur la table. Dans le cadre, l'espace du carré reste visible.
J'amène le carré partagé en 16 petits triangles et je demande à un enfant de remplir exactement l'espace du carré avec des petits triangles.
Avec 4 petits triangles, il fabrique un carré égal à celui que j'ai retiré. Maintenant, je demande à l'enfant de fabriquer une figure différente du carré. Par exemple le long parallélogramme que l'on voit sur la photo ci-dessous.

Ces 2 figures n'ont pas le même nom mais elles remplissent exactement le même espace (d'où l'importance d'utiliser le cadre au début pour former une figure égale), elles sont équivalentes (elles ont la même "valeur" ).

M. a enlevé un rectangle et cherche à remplir l'espace du cadre avec des petits triangles que G. lui tend

Le matériel permet de très nombreuses recherches de figures équivalentes que l'enfant va faire et fixer soit en dessinant directement sur le papier, soit en traçant et découpant dans du papier coloré.
Les enfants utilisent le symbole de l'équivalence: un signe égal à 3 barres.

A noter que pour l'instant, les enfants vérifient toujours par la manipulation que leurs figures sont équivalentes: ils fabriquent toujours la figure égale avant de chercher d'autres arrangements qui produisent une autre figure.

Mais avec les enfants qui travaillent les fractions, nous allons petit à petit pouvoir introduire le raisonnement logique. Par exemple, il y a 2 carrés partagés en 2. L'un en 2 rectangles et l'autre en 2 triangles.
Le raisonnement par rapport aux fractions va nous permettre de dire que le rectangle et le triangle de ces 2 cadres sont équivalents car ils représentent tous les deux 1/2 du même carré. Ils ont la même valeur mais pas la même forme, donc ils sont équivalents.

Le début d'un très long travail qui mêle calcul et géométrie et forme l'esprit à la rationalité d'une manière extraordinaire.