La Grande division

 Mon groupe le plus avancé est arrivé à l’abstraction de la petite division. Autrement dit, ils sont capables d’utiliser et de calculer sans matériel une division dont le diviseur n’est pas plus grand que 9. 

Il était donc temps de présenter la Grande Division, celle qui a un diviseur supérieur à 9. Pour cela, nous repartons des perles dorées. Et nous racontons aux enfants l’histoire de l’armée romaine et de ses subdivisions. Le décurion était le responsable d’un groupe de 10, lui étant compris dans le groupe. Au moment du repas, il vient donc chercher la ration pour les 10 hommes de la décurie. Ensuite, il fera le partage en 10.

Lors de la présentation, j’ai proposé une division par 12. Il y avait un décurion qui venait prendre pour 10 et 2 généraux qui venaient prendre pour eux-seuls. Pour que les choses soit bien claires, le décurion portait un brassard bleu (couleur des dizaines) et le fond de son plateau était couvert d’une feuille bleue. Les 2 généraux étaient équipés d’un brassard vert (couleur de l’unité) et étaient munis d’un plateau à fond vert.

La grande division nécessite d’avoir très bien compris le fonctionnement du système décimal car on navigue en permanence d’une catégorie à l’autre.

Mais rien de tel que des images pour comprendre:

Ici, c’est D. qui divise. Elle prend le dividende (la quantité à partager) dans son plateau.

Les enfants vont diviser par 21. Il y a donc 2 dizaines et une unité. R. et M-A. seront donc décurions pour les 2 dizaines. Ils ont un plateau bleu.

Clémence (qui était absente ce matin-là) a le plateau vert de l’unité.

D. commence à distribuer en commençant pour les quantités les plus grandes, donc, les milliers. Elle donne un cube de 1 000 à chacun des 2 décurions.

Mais pour Clémence, elle ne pourra pas donner un cube de mille. Les décurions prennent pour 10 et Clémence pour elle-seule. Or, au final, tout le monde doit recevoir rigoureusement la même chose. Donc, les décurions, qui représentent à eux-seuls 10 unités, doivent recevoir 10 fois plus que Clémence qui ne représente qu’une seule unité. Il faut donc lui donner 10 fois moins qu’au décurion, donc une centaine au lieu d’un millier.

Puis, comme il y a encore suffisamment de milliers, D. va recommencer la même opération une deuxième fois puis une troisième fois. Les décurions ont donc chacun 3 cubes de 1 000 tandis que Clémence a 3 carrés de 100.

Maintenant, il n’y a plus qu’un cube de 1 000. Impossible de le distribuer puisqu’il y a 2 décurions auxquels il faut donner la même quantité. Il faut donc le changer en 10 carrés de 100 pour continuer.

Ensuite, D. donne à chacun des décurions un carré de 100.

Mais pour Clémence, il faut donner 10 fois moins, donc juste une barrette de 10.

Et D. va continuer à distribuer ainsi des centaines aux décurions et des dizaines à Clémence. Rapidement, elle n’aura plus de dizaines à donner à Clémence mais encore des centaines sur son plateau. Elle changera alors une centaine en dizaines pour continuer la distribution jusqu’à ce qu’il ne lui reste plus qu’une seule centaine qu’elle ne peut plus donner aux décurions. Celle-là aussi, elle va la changer.

Ensuite, elle va donner des dizaines aux décurions et à chaque dizaine distribuée, elle donnera 10 fois moins à Clémence, donc, une unité.

Après 8 distributions de la sorte, il lui reste une dizaine et 6 unités. Mais elle ne va pas changer sa dizaine. En effet, elle se retrouverait alors avec des unités et si elle distribuait des unités aux décurions, alors, avec ce matériel, elle n’aurait rien de 10 fois plus petit à donner à Clémence. La division s’arrête donc ici pour l’instant.

En effet, nous divisons un entier avec un résultat entier. Il reste donc 16 perles que l’on ne peut pas distribuer. Et c’est bien normal puisque 16 est plus petit que le diviseur.

Décurions et unité comptent maintenant les perles sur leur plateau.

Il y a bien exactement 10 fois plus sur le plateau de chaque décurion que sur le plateau de Clémence. Le partage est donc exact.

Maintenant, quel nombre allons nous prendre pour résultat de notre division? C’est là qu’il faut se rappeler la petite phrase dite et répétée lors de la présentation de la petite division en perles: "Le résultat d’une division, c’est la part qu’a reçue ou qu’aurait reçue une unité". Donc, le résultat, il est dans le plateau de Clémence qui représente une unité. La division s’écrit donc ainsi:

Et voilà!

Maintenant, les enfants vont pratiquer un certain nombre de fois la grande division avec les perles avant de se lancer dans la grande division avec les timbres, ce qui constituera un premier pas vers l’abstraction.