samedi 24 octobre 2015

Les multiples II: multiples et diviseurs

Comme promis, après ce premier billet, nous continuons à cheminer dans la connaissance des multiples.

Ce matin-là, nous travaillions avec le livre de mathématiques de Singapour et Pauline devait dire de quels nombres un nombre était le multiple. C'était le moment de sortir le matériel qui nous sert à présenter la divisibilité d'un nombre.

Il s'agit d'une grande plaque perforée * comme pour le matériel de mémorisation de la multiplication et de la division. Mais elle est plus grande et sans inscription. On l'utilise avec des billes aux couleurs hiérarchiques (vert, bleu, rouge). Ce matériel a plusieurs utilisations, notamment celle de trouver la racine carrée d'un nombre.

Dans notre cas, il s'agissait de commencer par trouver de quels nombres 10 était le multiple. Posée telle quelle, la question n'était pas claire pour Pauline. Qu'à cela ne tienne, le matériel va rendre tout cela très clair. Normalement, la progression prévoit que nous présentions la divisibilité et la recherche des diviseurs d'un nombre comme une activité à part, menée en parallèle du travail sur les multiples jusqu'à ce que la jonction se fasse naturellement.
Ici, c'est l'exercice qui nous était proposé qui va nous dicter l'ordre. Je vais partir de la notion de multiple et proposer exactement la même manipulation que si nous recherchions les diviseurs mais en parlant de multiples. J'introduirai la notion de diviseur en cours de route si je vois que Pauline n'a pas de difficulté.

Je demande à Pauline de prendre 10 billes vertes et de les mettre en colonne sur la plaque perforée.
Je rappelle à Pauline ce qu'est un multiple: un nombre qui contient exactement un autre nombre un certain nombre de fois.


Je fais constater à Pauline que nous avons 10 paquets de 1 bille. Donc 10 contient exactement 10 fois 1 bille, 10 est un multiple de 1. Je lui demande maintenant de voir si elle peut faire des paquets de 2 pour vérifier si 10 est un multiple de 2.



Elle obtient exactement 5 paquet de 2 billes. C'est donc que 10 est un multiple de de 2.
Maintenant, elle teste si 10 est multiple de 3:




Il y a une bille solitaire, ça ne marche donc pas. 10 n'est pas multiple de 3. Elle essaye avec 4:



Cette fois-ci, nous avons 2 billes qui restent. 10 n'est donc pas multiple de 4. Essayons 5:



Avec 5, nous obtenons exactement 2 paquets, donc 10 est bien multiple de 5.
On peut poursuivre le travail pour constater que 10 n'est un multiple ni de 6, ni de 7, ni de 8, ni de 9 mais qu'il est bien multiple de 10. A ce stade, l'enfant voit généralement bien que s'il veut faire des paquets de 6 (a fortiori de 7, 8 ou 9 ), il lui restera des billes. Mais la manipulation présente l'avantage de montrer à l'enfant qu'un nombre est aussi multiple de lui-même.

Pendant la présentation, lorsque je vois que Pauline a bien compris le travail avec la notion de multiple, je lui fais remarquer ce que nous avons sur la table: quand nous cherchons si 10 est un multiple de 5, nous faisons des paquets de 5, donc nous divisons par 5. Si nous pouvons faire des paquets sans qu'il y ait de reste, c'est que 10 est divisible par 5. On peut également dire que 5 est un diviseur de 5.
Et ainsi, la boucle est bouclée, nous avons raccroché la notion de multiple à celle de la divisibilité et des diviseurs.


Après cette démonstration, Pauline, emballée, souhaite essayer des nombres par elle-même avant de continuer l'exercice du livre. Elle rajoute donc 1 bille et commence à les mettre en colonnes. 11 est bien sûr multiple de 1, comme tous les nombres. Elle teste 2:


Ça ne marche pas, elle essaye 3:


Toujours rien. Elle essaye 4:


Encore rien, essayons 5:


Elle comprend alors que 11 ne se divise par rien d'autre que par 1 et par lui-même, il n'est multiple que de 1 et de lui-même. J'explique alors à Pauline que ces nombres qui ne se divisent par rien d'autre que par 1 et eux-mêmes sont particuliers: on les appelle "nombres premiers". Je lui explique qu'une partie de ces nombres étaient présents dans le tableau de contrôle de la mémorisation de la division et apparaissaient d'une autre couleur.

Mais Pauline n'en a pas fini, elle veut essayer 12. Excellent choix!


Evidemment, 12 est divisible par 1. Elle essaye 2:


12 est divisible par 2. Et qu'en est-il de 3?



12 est aussi divisible par 3. Et elle se rend déjà compte que ça va marcher avec 4:



C'est confirmé! 5 n'a pas l'air de marcher, et puis le lien avec les tables de multiplication vient de se faire: 12 n'est pas dans la table de 5!


Effectivement, ça ne marche pas. Mais 6 devrait:


Mais oui, bien sûr! Et là, elle a compris que quand on arrivait à 2 lignes, le nombre n'avait plus d'autre diviseurs que lui-même. Mais sacré chiffre 12! Multiple de 1, 2, 3, 4, 6, 12 et donc divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12! On comprend que les hommes l'aient utilisé si souvent.

Ensuite, Pauline a voulu passer à des nombres plus grands, sur la photo, on la voit avec 25, mais ensuite, elle en a testé beaucoup d'autres, restant presque 1h entière avec le matériel. La photo montre assez combien le plaisir de découvrir était là...


La suite de notre exploration sera plus abstraite et fera l'objet d'un autre billet. Mais remarquez combien cette séance a permis de "faire le pont" entre beaucoup de notions importantes, comment multiplication et division sont maintenant plus que jamais 2 opérations complémentaires, inverses l'une de l'autre. Nul doute que lorsqu'arrivera la résolution d'équations au collège, cette séance aura eu son importance.


*A proprement parler, la plaque n'est pas "perforée" puisque les trous ne traversent pas la plaque mais forment juste une cupule, mais c'est ainsi que nous désignons habituellement ces plaques...

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