Multiplier un entier par une fraction

Dans un premier temps, nous avons expérimenté l'inverse: multiplier une fraction par un entier. Par exemple 3 X 1/8. La manipulation est très simple puisque l'enfant sait bien ce qu'est une multiplication: prendre un certain nombre de fois la même quantité. Ici, il s'agit donc juste de prendre 3 fois le morceau qui vaut 1/8 et de constater que cela fait 3/8.
On recommence avec d'autres combinaisons, et notamment avec des multiplicandes où le numérateur est plus grand que 1. Par exemple 2 X 3/10. L'enfant va prendre 3 sections de dixièmes une première fois, puis une deuxième fois, soit 6/10.
Parfois, il n'y aura pas assez de matériel pour faire l'opération, par exemple 2 X 2/3. Qu'à cela ne tienne: l'enfant va fabriquer avec du papier les éléments qui lui manquent.

A l'école les enfants ont d'abord effectué 3 X 2/10 sans problème avec le matériel; puis pour 5 X 3/8, ils ont eu besoin de fabriquer des sections supplémentaires

Après cette période manipulatoire où l'enfant enregistre ses résultats sur son cahier sans plus de commentaire, on prend un temps avec l'enfant pour observer tous les résultats collectés et en tirer la règle.
                                          3 X 1/8 = 3/8 ; 2 X 3/10 = 6/10 ; 2 X 2/3 = 4/3

L'enfant constate que le dénominateur ne change pas et que la multiplication se fait entre le multiplicateur et le numérateur seulement. A noter qu'il ne faut surtout pas faire la simplification de la fraction pour l'instant, sinon, on ne trouve pas la règle. Si on a simplifié la fraction pendant le calcul, il faut penser à bien noter d'abord le résultat avec le dénominateur de départ.

Maintenant, passons à l'opération inverse: multiplier un entier par une fraction.

On pourrait se dire, l'enfant sait déjà très bien que 2 X 3 et 3 X 2 , c'est pareil, alors nous n'avons qu'à lui dire d'appliquer la même règle...
Vous vous doutez bien que nous n'allons pas procéder ainsi! Cela, c'est la conclusion finale à laquelle nous allons arriver, mais après l'avoir en quelque sorte démontrée par la pratique. Et cela aura l'avantage que l'enfant aura bien compris la différence entre les 2 opérations. Car si finalement, le résultat est le même, le processus, lui, n'a rien à voir! Et nous allons toucher un peu plus du doigt le rapport étroit entre les fractions et les divisions.

Dans le premier temps, l'enfant avait pu faire une opération comme 2 X 1/3. Il avait donc pris 2 fois un morceau valant 1/3. Au fond, il suffit d'écouter ce que dit l'opération ("deux fois un tiers" ).
Mais maintenant, nous proposons à l'enfant 1/3 X 2.
Il faut être un tout petit peu plus attentif à ce que nous dit l'opération: "un tiers de fois deux". La quantité à prendre (le multiplicande) cette fois-ci, c'est 2. Et le nombre de fois qu'il faut la prendre, n'est pas un nombre entier de fois, c'est une fraction! Pas très facile à conceptualiser...

Commençons donc par fabriquer notre multiplicande. Dans le matériel des fractions, le cercle entier représente 1. Donc, avec l'enfant, nous fabriquons 2 cercles en papier pour représenter 2.

Il nous faut prendre cette quantité "un tiers de fois". Autrement dit ne prendre qu'un tiers de cette quantité. Donc, nous demandons à l'enfant de prendre un tiers et de le reporter sur chacun des cercles.

Nous avons maintenant 2 cercles sur chacun desquels nous avons dessiné 1/3

L'enfant découpe chacun de ces tiers et les place en face du signe =

La réponse est là: 2/3

Ça alors! Nous avons multiplié la quantité 2 et le résultat (2/3) est plus petit que 2 et même que 1! Voilà quelque chose à faire remarquer à l'enfant s'il ne le voit pas lui même: quand on multiplie par une fraction, le résultat est inférieur au multiplicande! Mais quand on a procédé ainsi, ça devient évident. Puisqu'on ne prend pas la totalité du multiplicande mais seulement une fraction, on se retrouve seulement avec une fraction de notre quantité de départ.

Essayons maintenant avec une autre opération: 3/5 X 2.
Pauline commence par fabriquer son multiplicande: 2 cercles pour figurer 2 entiers.

De chaque unité, il faut prendre 3/5 de fois. Elle reporte donc 3 fois la quantité 1/5 sur chaque cercle.

Après avoir découpé les 3/5 de chaque cercle, le résultat apparaît:

Et comme à cette époque nous travaillions sur les nombres mixtes, elle a ré-arrangé les 6/5 en 1et 1/5. On constate très bien que notre résultat est inférieur à notre multiplicande. Il est plus grand que lors de notre première multiplication car nous en avons pris une plus grande fraction (une plus grande portion pourrait-on dire )

Comme toujours, après plusieurs opérations, nous observons la règle. Parfois l'enfant dit dès la première fois que cela donne le même résultat que la multiplication de fraction par un entier, mais cela vaut le coup de continuer quelques manipulations pour bien sentir la différence conceptuelle entre les 2 opérations.

Par exemple, nous avons un gâteau, nous l'avons coupé en huit parts et nous voulons en mettre de côté pour 3 personnes qui ne sont pas encore là. Il faudra donc en mettre de côté 3 parts, donc "3 fois 1 huitième" (3 X 1/8) soit 3/8.
Maintenant nous sommes 8 et nous avons seulement 3 pommes à nous partager, quelle part allons nous pouvoir prendre? Chacun de nous pourra prendre 1/8 des 3 pommes (1/8 X 3 ), donc 3/8 de pomme (soit 1/8 de chaque pomme comme nous l'avons fait avec les cercles en papier, soit 3/8 d'une seule pomme).
Le résultat des 2 problèmes est le même avec des opérations inverses l'une de l'autres, mais l'histoire n'est pas du tout la même, n'est-ce pas?

Prendre le temps de bien manipuler cette étape est très important, je trouve. Je suis étonnée de voir ensuite quelle facilité ont les enfants à résoudre de tête des problèmes de partage qui me semblaient compliqués avant que je fasse la formation, alors que j'ai plutôt l'esprit matheux.
Je ne m'étonne plus maintenant de lire que les Egyptiens effectuaient de tête des opérations de fractions dans la vie de tous les jours. Quand j'avais lu cela en tant qu'étudiante, il me semblaient que les Egyptiens devaient vraiment être très doués en maths. Je comprends maintenant qu'ils apprenaient à manipuler ces calculs de manière très concrète eux-aussi.