La notion de multiples I

Quand les enfants se débrouillent bien avec la petite multiplication (il sont capables de faire sans matériel la multiplication d'un grand nombre par un multiplicateur inférieur ou égal à 9) et alors qu'ils ont démarré le processus de la grande multiplication avec le matériel du damier, nous présentons aux enfants la notion de multiples.
Parallèlement à l'acquisition de la technique opératoire de la multiplication, ce travail de longue haleine qui se construit étape par étape est un formidable moyen d'ancrer solidement des notions fondamentales pour la poursuite du calcul, notamment au collège.

Comme toujours, en Montessori, nous démarrons à touts petits pas. Et le 1er matériel est celui des chaînes. Les enfants Montessoriens ont commencé à compter en sautant sur les chaînes vers 5 ans et ont souvent passé plusieurs années à apprécier de compter les grandes chaînes (voir ce billet). Nous sommes donc dans de l'archi connu.

Prenons donc les grandes chaînes de 3 et de 4 et demandons aux enfants de placer les flèches comme il savent le faire. Une fois les chaînes étiquetées, nous leur disons: "Tu vois, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ce sont tous des nombres qui contiennent un certain nombre de fois 3. Par exemple, dans trois, il y a 1 barrette de 3, donc une fois 3, dans 6 , il y a 2 barrettes de 3 donc deux fois 3... Ces nombres qui contiennent exactement un certain nombre de fois 3, on les appelle les multiples de 3."
Puis, avec l'enfant, nous arrivons à la conclusion que les flèches de la chaîne de 4 sont les multiples de 4.

L'enfant va noter dans son cahier: "multiples de 3: 3, 6, 9, 12"... etc.

Il va s'ensuivre une période où l'enfant va reprendre les petites chaînes pour noter les multiples.

Puis vont venir les grandes chaînes jusqu'à 5.

Et parfois, cela va re-déclencher l'envie de reprendre les autres grandes chaînes. Cette fois-ci en ayant en tête la notion de multiples. Ce matin-là, dans la classe, les 2 filles qui avaient pris la grande chaîne de 9 ont entrepris de recopier dans leur cahier tous les multiples de 9 jusqu'au cube de 9! En face Clémence faisait de même sur la grande chaîne de 6, beaucoup plus courte, il est vrai.

L'étape suivant va nécessiter d'utiliser la boite de la table de Pythagore ( 55 barrettes de chaque)

Avec les enfants nous allons rechercher systématiquement les multiples d'un nombre. Par exemple 5.

A l'horizontale, nous allons fabriquer les multiples de 5 en prenant 1 barrette, puis 2 barrettes, 3 barrettes, 4 barrettes... de 5. En dessous nous allons faire apparaître ces multiples sous la forme décimale avec des barrettes de 10 pour les dizaines et d'autres barrettes colorées pour le chiffre des unités.

Sur la photo ci-dessus, l'élève a commencé par fabriquer tous les multiples sous forme de multiplication avec les barrettes de 5 avant de construire les résultats numériques. C'est pourquoi elle n'a plus de barrettes bleues et elle a décidé de faire 5 avec 4+1. Normalement, le jour de la présentation, nous fabriquons le résultat immédiatement après avoir placé les barrettes. Nous n'arrivons donc pas à placer 10 X5, mais, avec l'enfant, nous imagions sans mettre le matériel et surtout, avec lui, nous dépassons le 10ème multiple, nous avançons jusqu'au 13ème ou 15ème multiple. Ainsi l'enfant dépasse les combinaisons des tables de multiplications.

L'enfant est invité à faire ce travail pour chercher les 12 ou 15 premiers (ou plus) multiples des tous les nombres de 2 à 9. Lors de ce travail, le début de son travail est concret, purement assisté par le matériel, mais à la fin, la limitation du matériel l'oblige à abstraire pour trouver les derniers multiples.

Nous allons maintenant passer à l'abstraction en utilisant des tableaux de 100 pré-imprimés. Sur ces tableaux, les enfants vont entourer tous les multiples d'un nombres jusqu'à 100. On peut demander aux enfants de les entourer de la couleurs des perles Montessori.

Les multiples de 3 en rose

Les enfants utilisent 1 tableau par série de multiples. Le fait de dépasser plus ou moins largement le cadre des tables de multiplications permet de repérer des faits intéressants: ainsi, sur le tableau des multiples de 2, on voit se former les colonnes des chiffres pairs. Les enfants déduisent facilement que les nombres terminés par 2, 4, 6, 8 et 0 sont des multiples de 2. Le tableau des multiples de 5 permet de repérer immédiatement que les nombres terminés par 0 et 5 sont multiples de 5. Quant aux multiples de 3, ils formes des lignes diagonales... Tout cela intéresse voire fascine les enfants. Certains d'entre eux souhaitent refaire ce travail plusieurs fois alors qu'une seule fois suffit. On les laisse faire, bien sûr!

Ensuite, quand l'enfant  a fait les tableaux des multiples de 2 à 10 (on peut aussi faire ceux de 11, intéressant), nous lui proposons de faire apparaître, sur le même tableau, les multiples de 2 et de 3 en utilisant 2 couleurs différentes. On voit alors apparaître des nombres entourés 2 fois: ce sont les multiples communs.

Nous proposons à l'enfant d'expérimenter plusieurs paires de chiffres pour trouver les multiples communs.

Pour les multiples de 3 et 4, on obtient cela:

En faisant ce travail, certains enfants vont tout de suite remarquer et verbaliser que les multiples communs de 2 et 3 sont les multiples de 6, que les multiples communs de 2 et 5 sont les multiples de 10... D'autres ne le feront pas ou seulement après avoir expérimenté plusieurs paires, ce n'est pas important. Pour l'instant, nous souhaitons seulement que l'enfant comprenne la notion de multiples communs. Même si l'enfant ne remarque pas encore consciemment ce qui se passe, l'effet sensoriel des tableaux se sera suffisamment gravé chez l'enfant pour que, le moment venu, il aide à comprendre  la règle.

Sur ces tableaux, on peut aussi chercher les multiples communs à 3 nombres, par exemple, 2, 3 et 5

Avec ce matériel, nous arrivons à la fin d'une série d'exercices sensoriels sur les multiples. Le reste va devenir plus abstrait et fera l'objet d'un autre billet.