La Division: simple comme un jeu d'enfant!

Division. Ce mot vous rappelle peut-être des souvenirs douloureux, à l’école. Même quand on aimait plutôt le calcul, l’apprentissage de la division était souvent un moment difficile. Il faut dire que sans matériel concret, la division, c’est compliqué. Si compliqué que, pendant quelques années, elle a même été retirée des programmes de l’école primaire et réservée à l’entrée en 6ème!

Pourtant, avec le matériel des perles dorées, cette opération ne présente pas plus de difficulté qu’une autre. Démonstration avec D., M-A, M. et Clémence:

Dans grand plateau, je donne à M-A les symboles qui composent le nombre 7748. Elle part à la Banque chercher les perles qui correspondent à ce nombre. J’explique alors qu’elle va diviser cette quantité entre D., M. et Clémence, c’est-à-dire distribuer de telle sorte que chacune ait exactement la même quantité.

Avant de commencer, je fais rappeler: pour toutes les autres opérations, par quoi commençait-on? Les unités. Là, je précise: « la division est la seule opération où je dois commencer avec les catégories les plus grandes, donc, ici, avec les cubes de mille ».

M-A a bien compris. Elle commence par donner un cube de 1 000 à chacune. Il lui en reste 4. Elle recommence une distribution. Il lui reste un cube. Que faire du cube? Je ne peux pas le donner à l’une des filles, car alors, les deux autres n’en auraient pas autant. Pourtant, je dois le distribuer. Comment faire? Les précédentes manipulations nous apportent rapidement la solution: je peux échanger mon cube de 1 000 à  la Banque contre 10 carrés de 100.

M-A se retrouve maintenant avec 17 carrés de 100 sur son plateau. Elle les distribue. Au bout de 5 distributions, il lui en reste 2. Là encore, impossible de les distribuer. Elle retourne à la Banque changer ses 2 carrés de 100 contre 20 barrettes de 10. Et la distribution peut continuer.

Quand les 24 barrettes qu’elle possède désormais ont été distribuées, il ne lui en reste plus. Elle distribue alors les 8 perles d’unités. Au bout de 2 distributions, il reste 2 perles. Peut-on les échanger contre quelque chose de plus petit dans la Banque? Non, pour le moment, nous ne partageons pas l’unité (nous le ferons plus tard). Ces 2 unités que je ne peux plus distribuer constituent donc le Reste.

Maintenant que M-A a distribué, c’est au tour des 3 autres de travailler: elles comptent les perles de leur plateau et cherchent le symbole correspondant puis font la « Magie du Nombre ».

Tout le monde trouve 2582. M-A a bien partagé de manière égale (et non pas « équitablement », ça c’est ce que fait la mère de famille qui sert un peu plus au papa et un peu moins au petit dernier)

C’est là qu’intervient la phrase importante de l’éducatrice: « le résultat d’une division, c’est ce qu’a reçu, ou ce qu’aurait reçu, une unité ». Chacune des filles représentait une personne, donc une unité. Donc, le résultat de la division peut se lire dans n’importe lequel des plateaux.

Nous installons alors l’opération avec les symboles sur la table et donnons le vocabulaire en l’expliquant: dividende, diviseur, quotient et reste.

Cette première division en perles est ensuite travaillée par les enfants seuls, pour bien comprendre le mécanisme. Ensuite, nous leur montrons le matériel de la mémorisation de la division qui permet encore de travailler la compréhension du mécanisme.

Dans un premier temps, l’enfant travaille les tables de divisions de certains nombres intéressants pour la suite. Par exemple, la table de 20.

L’enfant commence par prendre 20 perles dans un godet. C’est son dividende. Sa première opération est 20 : 9. Sur la table perforée, il place 9 quilles sur le bandeau vert du haut. C’est son diviseur. Il distribue alors les perles de son godet. Au bout de 2 distributions, il ne lui en reste plus que 2. Il ne peut plus distribuer. Sur le côté gauche de la planche, il lit son quotient: 2. Dans son godet, il visualise son reste. Il note l’opération dans un tableau qui contient le vocabulaire de chaque élément de l’opération.

Les enfants qui se sont entraînés plusieurs fois avec les perles font des divisions avec les timbres. Voici comment avec M.:

M. forme son dividende avec les timbres. Elle utilise une corbeille par catégorie (milliers, centaines, dizaines, unités).

Elle place les 4 quilles représentant son diviseur (4). Chaque quille est l’équivalent d’un plateau.

M commence à distribuer les milliers. Il en reste 1, elle va le changer contre 10 timbres de 100 et les ajouter à la corbeille des centaines.

La distribution des centaines peut commencer. La corbeille des milliers qui a fini de servir est retournée sur la table.

 Au bout de 4 distributions, il restait 2 centaines qui ont été transformées en 20 dizaines ajoutées dans la corbeilles des dizaines. La corbeille des centaines est retournée, la distribution des dizaines commence.

Il restait une dizaine dans la corbeille qui a été transformée en 10 unités et ajoutés aux 7 unités du nombre de départ. Après 4 distributions, on constate qu’il en reste 2 au lieu d’un. Cela est dû à une petite erreur de manipulation: M a sans doute pris 11 timbres au lieu de 10. C’est une petite erreur d’inattention courante et qui n’est pas grave. Ce qui est important, à ce stade, c’est moins le résultat que la compréhension du mécanisme de l’opération.

Le résultat se lit en regardant une colonne sous n’importe quelle quille (rappelez-vous: « le résultat d’une division est ce qu’a reçu ou aurait reçu une unité. ») Donc 1 millier, 4 centaines, 6 dizaines et 4 unités, soit 1464.

Quand l’étape de la division avec les timbres est maîtrisée, nous passons à la division avec les éprouvettes, qui représente un degré d’abstraction supplémentaire. Dans cet exercice, l’enfant divise un énorme dividende qui dépasse le million. Le mécanisme est très similaire à celui des timbres, mais le résultat s’efface au fur et à mesure que l’on traite les catégories, il faut donc l’écrire en cours de travail.

J’expliquerai cette division lors d’un prochain billet  car l’explication pas à pas serait trop longue.

Enfin, dernière précision, pour l’instant, nous ne travaillons que ce que l’on appelle la petite division, c’est à dire une division dans laquelle le dividende peut être aussi énorme qu’on le souhaite mais dont le diviseur ne dépasse pas 9.

Il faudra reprendre les 3 étapes (perles dorées, timbres, éprouvettes) pour diviser avec un diviseur à 2 chiffres puis à 3 chiffres et enfin arriver à l’abstraction complète de la division.