Les triangles II

En attendant l'article sur l'éducation cosmique et pour répondre à la demande d'une lectrice, voici un billet de géométrie.

Ce billet fait suite à un trèèèèès ancien billet du blog sur les triangles dans lequel les enfants ont appris à classer les triangles en fonction de la longueur de leurs côtés:
3 côtés égaux: équilatéral
2 cotés égaux: isocèle
aucun côté de même longueur: scalène
(Note: le terme "scalène" n'est malheureusement plus en usage dans nos écoles, collèges et lycée. C'est bien dommage. Comme vous pouvez le lire sur cette définition, l'actuel terme "quelconque" n'est pas superposable à "scalène" car "quelconque" suppose également que le triangle ne comporte pas d'angle droit. Or, s'il est vrai que tous les triangles quelconques sont scalènes, tous les scalènes ne sont pas quelconques puisqu'on peut être scalène et rectangle à la fois, comme nous allons le voir. On observe une fois de plus que la prétendue simplification nous a fait perdre de la précision dans la classification des triangles)

I les trois dernières caractéristiques des triangles

Une fois que les enfants maîtrisent ces 3 premiers termes, nous allons nous intéresser aux angles. Lorsque nous abordons ces noms en 3-6, ils sont donnés de manière sensorielle sans explication (voir ce billet dans le blog 3-6). En 6-12, les enfants sont dans l'esprit comprenant, ils ont besoin d'explication, d'étymologie.
Lorsqu'on aborde cette notion avec des enfants qui ne l'on pas vu, il est préférable d'avoir abordé la notion d'angle avec les notions d'angle droits, aigu et obtus auparavant. La présentation des 3 dernières caractéristiques des triangles pourra prendre la suite et constituer une bonne utilisation concrète de ces notions dès que les enfants commencent à les maîtriser un peu.

Ce sont les 3 triangles autres triangles du tiroir des triangles du cabinet de géométrie qui vont nous permettre d'aborder les différents angles.
Il nous faudra également un petit outil en carton qu'on appellera l'angle "mesurateur" en 3-6 mais que l'on peut directement appeler "angle droit" en 6-12 même si on n'a pas encore fait la leçon sur les angles. Cet outil se présente comme une petite équerre, mais l'angle n'est pas fermé par une ligne droite comme dans un triangle. L'angle étant infini sur ses côtés, on matérialise ce fait par une ligne ondulée ou courbe dans l'amplitude de l'angle. mais une image sera plus parlante:

L'angle droit est également matérialisé par un arc coloré.
Nous expliquons aux enfants que cet angle est spécial: c'est l'angle droit. Puis nous sortons le premier  triangle de la 2ème série et demandons aux enfants si un des angles de ce triangle est le même que l'angle droit. A l'aide du "mesurateur", les enfants vont montrer que ce triangle possède un angle droit.

On superpose le "mesurateur" au dos du triangle pour constater l'égalité

 Nous expliquons alors qu'en latin, droit se dit "rectus". Puisque ce triangle possède une angle droit, il s'appelle donc triangle "rectangle".

Nous sortons le 2ème triangle. A l'œil, les enfants peuvent nous dire qu'aucun angle n'est droit. Nous leur demandons de nous dire comment est chacun des angles par rapport à l'angle droit: plus grand (plus "ouvert") ou plus petit? Autrement dit, aigu ou obtus?

En procédant de la même manière ("mesurateur" sur l'envers du triangle), les enfants peuvent nous dire que tous les angles sont plus petits, donc tous aigus.
Nous expliquons alors qu'aigu se dit "acutus" en latin. Donc ce triangle s'appelle acutangle.

Nous sortons maintenant le dernier triangle de la série et demandons aux enfants de passer en revue tous les angles. L'un d'eux est beaucoup plus grand que le "mesurateur", il est donc obtus.

Nous expliquons donc que ce triangle s'appelle obtusangle.

Si les enfants ont déjà vu ces noms en 3-6, en 6-12, pour faire ce rappel de leçon, on demandera aux enfants s'ils se souviennent du nom de chaque triangle puis de leur demander pourquoi il porte ce nom. Quand un enfant dira que ce triangle est rectangle parce qu'il a le même angle que le mesurateur, on lui demandera comment s'appelle cet angle puis on donnera l'étymologie pour que, maintenant, le nom appris sensoriellement soit inscrit aussi avec son explication.

Comme les enfants de 6-12 sont dans un plan beaucoup plus abstrait, on les fera travailler ensuite non pas avec le matériel du cabinet, mais avec les cartes du cabinet avec les traits fins qui sont à la fois la représentation la plus abstraite, mais aussi la représentation géométrique.
On les fera ensuite travailler très rapidement sur la nomenclature des triangles. Ils mémoriseront à la fois le vocabulaire mais aussi la définition.

Les enfants pourront aider leur mémorisation en réalisant leur propres triangles à l'aide du cabinet de géométrie ou en décalquant les cartes de nomenclature.

Ils pourront également utiliser les barres de géométrie pour fabriquer des triangles. Ils découvriront alors qu'ils leur faut utiliser les barres couleur naturelle pour fermer leur triangle s'ils veulent qu'il soit rectangle.

Les barres naturelles en bas permettent de fabriquer des triangles rectangles. Source: Montessoria

II Classement des 7 triangles

Une fois appris ce vocabulaire, on peut réaliser un classement des triangles qui combine à la fois les caractéristiques selon les côtés et selon les angles. Pour réaliser ce classement, il nous faudra le tiroir complet des triangles du cabinet de géométrie plus un 7ème triangle qui doit se trouver dans le dernier tiroir. En effet, nous allons découvrir qu'en croisant les 2 séries de qualificatifs, nous ne pouvons fabriquer que 7 types de triangles différents et non pas 9...

Pour commencer, je demandais aux enfants de me rappeler comment nous avions d'abord appris à classer les triangles: selon les côtés. Les enfants rappellent les 3 noms et je les écris en haut d'une grande feuille: nous venons de délimiter 3 colonnes (scalène, isocèle, équilatéral).
Puis ils me rappellent les 3 autres caractéristiques que j'inscris sur le bord gauche de la feuille de manière à former 3 lignes (rectangle, acutangle, obtusangle). Nous venons de créer un tableau à double entrée comportant 9 cases vides.
Nous prenons 3 premiers triangles du tiroir. Les enfants ont pris l'habitude de le voir comme scalène. Il faut maintenant qu'ils observent ses angles: il est également rectangle. Nous le plaçons dans la case "scalène rectangle".
Le 2ème triangle était classé comme isocèle. Après vérification des angles, il va prendre place dans la case "isocèle acutangle".
Le 3ème triangle, équilatéral est placé dans la case "équilatéral acutangle"

Passons maintenant à la 2ème série: le triangle acutangle est aussi scalène.

Le triangle rectangle est également isocèle, de même que le triangle obtusangle.
Une fois les 6 triangles classés, nous sortons le 7ème: les enfants trouvent qu'il est obtusangle et scalène. Nous obtenons donc ce classement. 

Les enfants remarquent que 2 cases restent vides. Nous leur indiquons qu'il n'y a pas d'autre triangle dans le cabinet de géométrie. Ils ont en général l'idée de vouloir fabriquer eux-même un triangle équilatéral rectangle et un triangle équilatéral obtusangle pour remplir le tableau.
Ils vont donc chercher à fabriquer ces triangles avec les barres de géométrie et vont faire une découverte:

Impossible de flouter le sourire de ces deux-là: le bonheur de la découverte est tellement manifeste!

En général, ils essayent toutes les barres et finissent par découvrir (avec notre aide si besoin) que quelle que soit la taille du côté, un triangle équilatéral a toujours le 3 mêmes angles identiques. Il ne peut donc être qu'acutangle.

Le tableau est donc complet avec ces 7 types de triangles. Nous pouvons donc mettre une croix dans les cases "équilatéral rectangle" et équilatéral obtusangle" car ils n'existent pas.
Dans la classe, j'avais dessiné les triangles sur le tableau que nous avions affiché. Ensuite, les enfants utilisaient les étiquettes des caractéristiques pour former le tableau à double entrée sur le tapis puis le remplissaient avec les formes du cabinet ou les cartes à traits fins. Le tableau sur le mur servait alors de contrôle.

On peut proposer aux 6-12 qui ne l'ont pas vécu en 3-6 de prendre le jeu du détective. Les triangles de ce jeu peuvent aussi être classés dans un tableau, comme l'avait fait Clémence dans cet article.