Multiplier un entier par un décimal I: construire le damier décimal

Pauline sait multiplier un décimal par un entier depuis l'année dernière. la manipulation est simple: à l'aide des petites perles écrasées, il suffit de prendre un certain nombre de fois la quantité demandée. Voici un exemple réalisé à l'école il y a quelques années:

Maintenant, nous voulons amener l'enfant à réaliser l'opération inverse: multiplier un entier par un décimal.
Certes, nous pourrions dire simplement à l'enfant que, comme la multiplication est commutative, 4 X 0,25 et 0,25 X 4 c'est pareil. Mais, comme je vous l'ai dit au sujet de la multiplication par une fraction, en Montessori, on ne donne jamais de "recette" toute faite tant que l'enfant n'a pas expérimenté et compris la notion.
Nous allons donc construire une progression pour que l'enfant intériorise ce qui se passe quand on multiplie par une quantité décimale et observe le placement de la virgule avant de lui donner la fameuse recette.

La première chose que nous allons faire, c'est construire avec lui le 1er outil qu'il va utiliser: le damier décimal.


Lorsque nous lui avons montré comment multiplier par un nombre supérieur à 9, nous avons déjà utilisé un damier, celui de la multiplication.

Je n'ai toujours pas fait de billet sur ce matériel absolument fabuleux, mais si vous voulez en savoir plus, Sicosico de l'école des amours a fait un très bon billet sur ce matériel.

L'enfant est donc familier des carrés colorés qui représentent unités, dizaines et centaines dans le code couleur qu'il connaît depuis le tableau de symboles et qui peuvent être simples, de mille et de millions, en fonction de leur place sur le damier.

Nous utiliserons un autre damier, plus grand et avec d'autres carrés plus clairs en plus des carrés qu'il connaît déjà. Mais avant de sortit ce matériel, nous allons le bâtir avec lui.
Pour cela, nous préparons des carrés de papier épais que nous colorons en bleu, rouge et vert vif puis d'autres en bleu, rouge et vert clair.

Il vous faut:
12 carrés vert foncé
9 carrés beu foncé
7 carrés rouge foncé
9 carrés bleu clair
7 carrés roses
5 carrés vert clair
Soit 49 carrés au total

Ave l'enfant, on commence par construire la partie entière du damier, c'est-à-dire à travailler avec les couleurs vives (déjà vues dans le premier damier). Nous commençons par poser un carré vert: les unités simples. Puis, en ligne, vers la gauche, nous augmentons les valeurs: un carré bleu (dizaines), un carré rouge (centaines) puis un second carré vert (unités de mille).
A partir de notre carré d'unités du départ, nous montons verticalement de la même manière. Nous avons donc la base d'un petit carré de 4 X 4 carrés que nous allons compléter. Pour cela, il suffit juste de se rappeler les 2 règles que nous avons vues en utilisant le damier des entiers: chaque fois qu'on monte, on multiplie par 10 et chaque fois qu'on se décale sur la gauche on multiplie aussi par 10.
L'enfant choisit donc avec nous quels carrés poser et nous indique leur valeur en les posant. Le dernier carré en haut à gauche est donc celui du million.

Maintenant, nous allons continuer à placer des carrés, mais à droite de notre carré d'unités simples du départ. Puisqu'on va à droite, chaque carré représente dix fois moins que le précédent. Donc, nous allons mettre d'abord un carré bleu clair de dixièmes, puis un rose de centièmes puis un vert clair des millièmes. Nous construisons ensuite l'autre côté du carrés en faisant une ligne verticale jusqu'aux millièmes

Ceci fait, nous construisons l'intérieur de cet autre carré en appliquant la règle du "dix fois moins" chaque fois que nous descendons ou allons à droite. L'enfant nomme les hiérarchies atteintes.
Ci-dessous, Pauline place des carrés bleu clairs des dix-millièmes...

... puis de cent-millièmes...

... pour arriver enfin au ... millionième!

Ces 2 premiers carrés étant faits, il ne reste plus qu'à compléter le grand carré en appliquant les règles et à obtenir ceci:

Ensuite, l'enfant peut s'entraîner plusieurs fois à le refaire seul. Il peut se corriger avec le damier décimal que nous lui montrons. Par expérience, les élèves de l'école ainsi que Pauline aimaient bien ce matériel. Il leur permet de revoir le vocabulaire des décimaux et ancre sensoriellement d'une autre manière que le tableau jaune les valeurs des hiérarchies entre elles.