Additionner des fractions

Il y a longtemps de cela, j'avais fait un long article sur la présentation de la notion de fractions. J'avais terminé en indiquant qu'après avoir vu la notion de fractions équivalentes, nous passions aux additions mais je n'ai jamais eu le temps de faire le billet.
Avec Pauline, nous avons repris les additions de fractions, il y a peu. J'en ai profité pour photographier son travail et j'ai ressorti quelques photos anciennes. Je vais donc pouvoir enfin faire ce billet!

Nous avons travaillé sur les additions de dénominateurs différents ce jour-là. Bien évidemment, ce n'est pas par là que nous commençons.
Il faut d'abord additionner des fractions de même dénominateurs.

Autant le dire, cette étape-là est simplissime. Imaginons que nous voulions additionner 1/6 et 4/6 comme l'avait fait une élève de la classe lors d'une précédente année.
Elle écrit les fractions de l'addition et sort les sections du matériel correspondantes qu'elle place au dessus des fractions écrites.

A gauche, 1/6, une étiquette + et à droite, 4/6.
Le bras de l'élève masque les fractions écrites avec les billets et les barres noires.

Ensuite, elle fait passer toutes les sections ensemble à droite du signe de l'égalité. Ce faisant, nous répétons ce qui a été dit et montré en 3-6 lors de la présentation de l'addition: additionner, c'est mettre tout ensemble.

Il ne reste plus qu'à compter ce qui se trouve à droite du signe de l'égalité. Il y a maintenant 5 sections de la famille des sixièmes, ce qui nous donne donc 5/6. Il n'y a plus qu'à écrire le résultat sous forme de fraction avec les barres et les billets. L'égalité numérique est complétée.

Il n'y a guère à s'appesantir sur cette étape. Additionner 1 sixième et 4 sixièmes, c'est rigoureusement la même chose que d'additionner 1 bonbons et 4 bonbons ou 1 citrouilles ou 4 citrouilles ou 1 entiers et 4 entiers.
Dès lors que le dénominateur est commun, on additionne des objets qui appartiennent à la même catégorie. C'est donc une addition comme une autre.
Très vite, l'enfant saura vous dire le résultat de l'opération avant de l'avoir faite avec le matériel. Il faudra lui demander de l'écrire.
Quand on aura une collection d'additions faites par les enfants, on les réunit sur un tableau et on les observe pour en tirer la règle:
"Quand on additionne 2 fractions de même dénominateur, on additionne leurs numérateurs, le dénominateur reste le même."

Fin de la 1ère étape.

Maintenant, il faut arriver à additionner des fractions dont les dénominateurs sont différents.
Par exemple 1/2 +1/3.
Le premier constat que nous devons faire avec l'enfant, c'est qu'il n'est pas possible d'additionner ces 2 fractions parce qu'elles ne sont pas "de la même famille". On peut additionner, des choux, des bonbons, des tiers, mais pas des choux et des bonbons, ni des tiers et des demis. Il faut que les éléments à additionner soient de même nature.

Lors de la 1ère présentation, puisque nous avons déjà fait travailler l'enfant sur la notion d'équivalence, nous prenons les supports des tiers et des demis. Nous demandons à l'enfant de trouver dans le matériel une famille de fractions qui puisse à la fois remplir exactement l'espace du 1/2 et l'espace du 1/3.
L'enfant tâtonne plus ou moins mais finit par trouver que les sixièmes sont les seuls à pouvoir remplir exactement les 2 espaces.

Maintenant, nous allons remplacer le 1/2 et le 1/3 par leur équivalent en sixièmes. 

Une fois que nous avons remplacé les sections, il nous faut modifier l'écriture de l'addition. Dans un premier temps, nous prenons des billets pour recouvrir l'écriture de départ (1/2 + 1/3) afin d'obtenir l'écriture des fractions équivalentes (3/6 + 2/6)

Maintenant que nous avons transformé les fractions de départ en fractions équivalentes de même dénominateur, nous nous retrouvons dans la configuration de l'étape 1. Tout est en sixièmes, il n'y a plus qu'a additionner les numérateurs pour obtenir 5/6.

Au début, nous faisons disparaître l'écriture fractionnaire de départ (1/2 disparaît sous le 3/6 qui le remplace ) le temps que l'enfant assimile bien le processus. Puis nous incitons l'enfant à mettre un signe d'égalité et à réécrire à côté l'addition en fractions de même dénominateurs. On trouvera ainsi sur le tapis: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6


Ce n'était pas la première fois que Pauline additionnait des fractions de dénominateurs différents. Aujourd'hui, nous nous sommes intéressé à des cas particuliers d'additions. Par exemple 3/8 + 1/4 .

Le cas est un peu différent, parce que là, nous n'avons pas besoin de transformer les 2 fractions, mais seulement une seule. En effet, une des fractions peut trouver une équivalence avec le dénominateur de l'autre fraction. Ici, il est possible de transformer les quarts en huitièmes.
Si l'enfant a suffisamment travaillé les équivalence (voir ce billet), il le verra facilement. Il transformera facilement 1/4 en 2/8. Il peut utiliser le support des 1/4 pour vérifier.

Il ne reste plus qu'à remplacer la section du 1/4 par 2/8 et à modifier l'écriture de la fraction.

Pauline a fait ainsi un bon petit paquet d'additions de ce type ce matin. Pour trouver les équivalences, elle avait en général une idée empirique du résultat qu'elle vérifiait avec sa manière toute personnelle. Je vous laisse regarder (elle devait additionner 2/3 +3/9):

Elle pose directement les sections de neuvièmes sur l'envers d'un tiers 

Et voilà! 1/3 = 3/9

A ce stade, elle travaille avec une ardoise. Je lui écris l'addition, elle écrit l'addition équivalente puis le résultat. Ensuite, après validation, le travail est recopié dans le cahier.

Le matériel est très efficace pour les additions dont l'un des termes peut trouver une équivalence dans le dénominateur de l'autre.
Pour le cas où il faut trouver une 3ème dénominateur pour réaliser l'équivalence, les possibilités sont un peu limitées. On peut additionner des demis avec des tiers, des quarts et des cinquièmes et c'est tout. On utilisera alors une méthode à l'aide d'un quadrillage, vraiment très futée. Pauline l'aime beaucoup, mais ce sera l'occasion d'un autre billet, celui-là étant déjà trop long!